Zero virgola nove periodico

Visto che diverse volte mi è capitato di dirlo e il più delle volte i miei interlocutori hanno mostrato incredulità o scetticismo, ho deciso di scriverlo. E, come si conviene, dimostrarlo.

Zero virgola nove periodico NON esiste.

Che più in generale equivale a dire "Non esistono numeri di periodo nove in notazione decimale".

Chiunque conosca i fondamentali dell'analisi matematica può liquidare l'affermazione come la proverbiale scoperta dell'acqua calda. O almeno così pensavo: evidentemente non è vero, visto che mi sono trovato di fronte persone che mi ribattevano dicendo "...è il numero che si trova appena prima di 1" o altre che azzardavano paragoni con Achille e rettili carapaci.

Quindi ecco qui la dimostrazione, e visto che sono in vena di offerte speciali ne propongo due diverse, in modo che ognuno possa scegliere quella che preferisce.

1. Zero virgola 9 periodico, che indicheremo d'ora in avanti con 0,(9), è la rappresentazione in notazione decimale di un numero che è uguale alla somma di infiniti addendi le cui notazioni decimali sono a loro volta finite: 0,(9) = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

Chi abbia incontrato almeno una volta una serie numerica ha già capito di cosa parlo: possiamo scrivere il nostro numerino come limite di una successione di somme parziali. In particolare la serie di cui stiamo parlando è qualcosa di molto simile ad una serie geometrica: infatti possiamo riscrivere l'uguaglianza in questo modo: 0,(9) = 9*(0,1+0,01+0,001+...), con gli addendi tra parentesi a formare una serie geometrica di ragione 1/10. Tale serie è convergente e ha una somma pari a x/(1-x) - teniamo conto che la nostra somma esclude il primo addendo con potenza zero - ovvero 1/9.

Di conseguenza abbiamo 0,(9) = 9*1/9 = 1. Ovvero 0,(9) - se esistesse - sarebbe uguale a 1. Ma ciò è inaccettabile in quanto ogni numero reale ha una e una sola rappresentazione decimale: derogando tale principio possiamo assumere che sì, 0,(9) esiste ed è uguale a 1, ma ci complicheremmo inutilmente la vita...

2. Esiste una proprietà dei numeri reali che garantisce che, presi due numeri differenti ne esista almeno uno compreso tra i due nell'ordinamento naturale: si dice che l'insieme dei numeri reali è denso (in realtà lo sono anche i razionali, ma non divaghiamo).

Supponiamo quindi di avere 0,(9) diverso da 1.

Ovviamente 0,(9) non può essere maggiore di 1, in quanto la sua notazione decimale riporta il numero 0 come indicatore dell'unità. Quindi, se esiste, 0,(9)<1.

Avremo perciò, per quanto detto prima, un numero x tale che 0,(9)<x<1.

Ora proviamo a ipotizzare una rappresentazione decimale di x: sicuramente la cifra delle unità sarà 0, in quanto x<1.

La prima cifra decimale dovrà per forza di cose essere un 9, in quanto x>0,(9). Analogamente la seconda cifra, e la terza...

A questo punto credo che anche l'ultimo dei complottisti dotato di pallina per fare il bucato e braccialetto per l'equilibrio al polso abbia capito che non ci sono possibilità di trovare un numero strettamente maggiore di 0,(9) e contemporaneamente minore di 1. E questo è evidentemente un assurdo, che porta alla conclusione che cercavamo.

Ora, a meno di errori nelle dimostrazioni (ovviamente possibili: in tal caso suggerisco di cercare tra le altre decine di dimostrazioni diverse) direi che il problema è chiuso, e il prossimo che parla di zero virgola nove periodico in mia presenza sa bene a cosa va incontro.